陈景润的数学有多厉害?

近日关于韩春雨事件,因为韩的主动撤稿,再度引爆媒体,舆论和公众众说纷纭。这使我想起数学史上的几桩趣事,也曾引发媒体的持久关注和公众的广泛兴趣。

  哥德巴赫(Goldbach)生于1690年,是德国一位数学家。1742年,哥德巴赫在教学中发现,每个不小于6的偶数都是两个质数(只能被和它本身整除的数)之和。如6=3+3,12=5+7等等。

问题:陈景润的数学有多厉害?

第一件事是地图四色问题

它是近代世界三大数学难题之一。1854年,毕业于伦敦大学的南非青年格里斯(1831-1899)在一家科研单位从事地图着色工作,他发现每幅地图都可以只用四种颜色着色,便可以使得任何相邻的两个国家颜色不同。

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这一现象能不能用数学方法严格证明呢?格里斯和他正在上大学的弟弟尝试证明,但没有成功。一百年以后,地图四色问题成为了著名的数学难题。

1879年,英国律师、数学爱好者阿尔弗莱德·肯普(1847-1922)曾正式发表论文,证明了地图四色问题。11年以后,一位大学生发现并指出他的证明有错,此时他已当选为英国皇家学会会员(相当于科学院院士),这个错误直到86年以后的1976年,才被两位美国数学家阿陪尔和哈肯纠正,他们借助电子计算机证明了地图四色问题,但使用的方法仍然是肯普发明的。值得一提的是,在肯普被指出证明有误以后,他依然当选为英国皇家学会副主席、伦敦数学会会长。

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阿尔弗莱德-肯普

  公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉(Euler),提出了以下的猜想:

回答:

第二件事是费马大定理

这是有着350多年历史的数学悬案,由法国数学家、业余数学家之王费马在17世纪提出,1993年由英国数学家安德鲁·怀尔斯在母校剑桥大学艾萨克·牛顿研究所宣布证明,但随后发现有漏洞,因此没有发表。两年以后,在理查德·泰勒等数学家的帮助之下,怀尔斯的证明正式发表,并得到了举世公认。因此,他虽然已经超出了40岁的年限,仍然在45岁那年(1998)被授予菲尔兹特别奖,这是这一世界最高数学奖项唯一一次例外,他的工作也被认为是20世纪的数学成就。

  (a)任何一个>=6之偶数,都可以表示成两个奇质数之和。

陈景润,中国著名解析数论专家,1933年
5月22日生于福建福州,1953年毕业厦门大学数学系。1957年,由华罗庚推荐,在中科院数学研究所开始从事数论研究的工作。

第三件事是abc猜想

它虽然提出才32年,但与费马大定理一样重要。假如这个猜想被证明,那么四项菲尔兹奖成果(包括费马大定理在内)都可以轻松推出,可以说只需五六行便能证明,其难度相当于小学奥数题。2012年,京都大学教授、日本数学家望月新一在互联网上宣布,他证明了abc猜想,轰动一时,但他的证明至今没有得到数学界公认,因为他使用方法和理论的一部分无人能够看懂,同时也没有人在他的文章里找出漏洞或错误。对此他本人承诺,会在10年代给出大家满意的解释。

  (b)任何一个>=9之奇数,都可以表示成三个奇质数之和。

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第四件事是哥德巴赫猜想

1960年代,关于这个猜想的竞争异常激烈,按照王元院士在《华罗庚传》第65节的描述:1962年,王元收到潘承洞(笔者博士导师)的信,在给出算术素列中素数分布的一条中值定理以后,他证明了“1+5”,即每个充分大的偶数均可以表示成一个素数和另一素因子个数不超过5个的正整数的和。

图片 4哥德巴赫猜想手稿

“正当收到潘承洞的论文1+5后不久,王元又收到苏联数学家巴尔巴恩的论文,其结果与方法基本上与潘承洞的工作相同。王元将潘承洞的结果和方法告诉了巴尔巴恩。不久王元又收到潘承洞的“1+4”手稿,以及巴尔巴恩的信,信中说他证明了“1+4”。王元写信告诉巴尔巴恩潘承洞证明“1+4”的方法,即将苏联数学家利尼克的方法加以改进,巴尔巴恩回信说他用的也是同样的方法。这时王元也用潘承洞的中值定理证明了“1+4”,并指出这个中值定理实际上起到了弱广义黎曼猜想的作用。

1965年,意大利数学家庞比尼证明了更强的中值定理,从而得到了“1+3”。主要因为这项工作,以及其他工作,他获得了1974年菲尔兹奖,年仅34岁。1966年,陈景润宣布证明了“1+2”,但他只是在《科学通报》上发表了论文摘要,史无前例的文化大革命便爆发了。因为只有摘要发表,国外同行无人相信。直到七年之后,在周恩来的关心之下,陈景润的论文全文才在《中国科学》发表,当年便作为“陈氏定理”被专章写进两位欧美数论学家的专著《筛法》里头。1978年,国际数学家大会在温哥华召开,陈景润第一次收到做特邀报告的邀请,但他却因故没能成行,那年陈景润已45岁。

1968年7月17日,曾经独立证明“1+5”和“1+4”的苏联数学家巴尔巴恩在乌兹别克共和国首都塔什干自杀身亡,年仅33岁。多年以后,据有关方面透露,巴尔巴恩曾宣称或自以为证明了“1+1”,即原汁原味的哥德巴赫猜想,但不久他便发现证明有误,且无力纠正这个错误……

从以上诸事件可以看出,尽管数学可能出错,但不会像需要实验或数据的科学那样造假。因为数学的证明和计算都是摆在同行和世人面前,无法撒谎或欺骗。当然,这里面必须要把统计和数据排除在外。事实上,就在不久以前,统计学作为一门数学分支的历史便告结束,它已经被分划出去,成为与数学并列的一级学科。(编辑:吴欧)

  这就是著名的哥德巴赫猜想。欧拉在6月30日给他的回信中说,他相信这个猜想是正确的,但他不能证明。叙述如此简单的问题,连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明,这个猜想便引起了许多数学家的注意。从哥德巴赫提出这个猜想至今,许多数学家都不断努力想攻克它,但都没有成功。当然曾经有人作了些具体的验证工作,例如:
6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 +
11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, . . . .
等等。有人对33×108以内且大过6之偶数一一进行验算,哥德巴赫猜想(a)都成立。但严格的数学证明尚待数学家的努力。

1950年代,陈景润已经对于数论中的高斯圆内格点问题、球内格点问题、塔里问题与华林问题的以往结果,作出了重要改进。同时对筛法也做了重大突破,这也为他在攻克哥德巴赫猜想的道路上提供了最有利的武器。

题图来源:123RF

  从此,这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意。200年过去了,没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代,才有人开始向它靠近。1920年,挪威数学家布爵用一种古老的筛选法证明,得出了一个结论:每一个比36大的偶数都可以表示为九个质数之积与九个质数之积的和(简称9+9)。这种缩小包围圈的办法很管用,科学家们于是从(9+9)开始,逐步减少每个积里所含质数因子的个数,直到最后使每个积里都只有一个质数因子为止,这样就可以证明“哥德巴赫猜想”。

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  目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的,称为陈氏定理(Chen’s
Theorem)
。即“任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和,而后者仅仅是两个质数的乘积。”通常都简称这个结论为大偶数可表示为
“1 + 2 ”的形式。

1966年,陈景润用自己改进了的筛法,证明了:偶数为一个素数及一个不超过两个素数的乘积之和。并且发表在《科学通报》上。离最后的解决仅一步之遥,也就是1+2,这是迄今为止,人们对于哥德巴赫猜想研究的最好结果。此项成果也被数学界命名为“陈氏定理”,50年来,哥德巴赫猜想再也没有任何突破,仅此一项工作,陈景润就足以跻身世界著名数学家之列。

  在陈景润之前,关于偶数可表示为 s个质数的乘积
与t个质数乘积之和(简称“s + t”问题)之进展情况如下:

1973年,陈景润将自己1966年论文进行了重新改进,将冗余部分精简,使得证明更加简洁可读性更高。

  1920年,挪威的布朗(Brun)证明了 “9 + 9”。

1979年,陈景润发表“算术级数中的最小素数”,将最小素数从80推进到16。

  1924年,德国的拉特马赫(Rademacher)证明了“7 + 7”。

陈景润对于数学尤其是数论的痴迷已经到了无我的境界。用于攻克哥德巴赫猜想的稿纸有几麻袋,常年在自己不到6平米的房间里废寝忘食地演算。即使在自己病入膏肓的时候,也不忘去突破,也不忘记对于青年数学家的培养和教导。

  1932年,英国的埃斯特曼(Estermann)证明了 “6 + 6”。

他最信奉的格言就是“人生不是索取而是奉献”。

  1937年,意大利的蕾西(Ricei)先后证明了“5 + 7”, “4 + 9”, “3 + 15
”和“2 + 366”。

回答:

  1938年,苏联的布赫•夕太勃(Byxwrao)证明了“5 + 5”。

哥德巴赫猜想是数论中著名的难题之一。

  1940年,苏联的布赫•夕太勃(Byxwrao)证明了 “4 + 4”。

哥德巴赫猜想分两个:

  1948年,匈牙利的瑞尼(Renyi)证明了“1 + c”,其中c是一很大的自然数。

第一猜想:对于大于2的偶数,都能分解为两个素数。

  1956年,中国的王元证明了 “3 + 4”。

第二猜想:对于大于9的奇数,都能分解为三个素数。

  1957年,中国的王元先后证明了 “3 + 3 “和 “2 + 3”。

哥德巴赫证明不了自己的发现,于1742年写信向欧拉讨教。但欧拉未能证明两个猜想。十九世纪,德国数学家高斯接触到这个问题后,认为问题有些似是而非,因此放弃了这个问题。

  1962年,中国的潘承洞和苏联的巴尔巴恩(BapoaH)证明了 “1 +
5”,不久,潘承洞和王元又证明了“1 + 4”。

在二十世纪的五十年代,前苏联数学家维诺格拉多夫用自己在解析数论中创造的三角和法,证明了哥德巴赫第二猜想;因此,哥德巴赫第二猜想,被称为维诺格拉多夫-哥德巴赫定理。

  1965年,苏联的布赫•夕太勃(Byxwrao)和小维诺格拉多夫(BHHopappB),以及意大利的朋比利(Bombieri)证明了“1

第一猜想难度比第二猜想大得多。基本采用的是数论中的“筛法”,即:先将问题变成一个充分大的偶数可以分解为两个不超过l个素数的乘积的和,然后逐步减少乘积素数的数目,最后得到两个素数之和,这样就能证明哥德巴赫猜想。这个命题可以简单地表示为:n
=(l,l)。

  • 3 ”。

下面是许多一流数学家攀登“筛法”高峰的艰难历程:

  1966年,中国的陈景润证明了“1 + 2”。

1919年,布朗首先证明了:(9,9)